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1. FERMENTAÇÃO MICROBIANA EM BATELADA

Um dado processo de fermentação pode ser conduzido de diferentes maneiras, cada uma delas conferindo ao bioprocesso vantagens e limitações peculiares ao cultivo fermentativo, tudo isso em decorrência de questões cinéticas que explicam o crescimento das células microbianas que fazem a bioconversão desejada.

Uma dessas maneiras de se operar um processo fermentativo é a batelada, que permite o crescimento de bactérias, fungos e leveduras em placas de Petri, erlenmyers incubados em shakeres (culturas em pequena escala) ou até mesmo em biorreatores industriais (escala ampliada). Nesse modo de operação, antes do cultivo ser iniciado, todos os insumos que vão ser utilizados para a reação, como meio nutriente, soluções tampão e as biofábricas em si (estas chamadas aqui de inóculo, uma subcultura de microrganismos) são adicionados ao ambiente reacional no qual irá ocorrer a fermentação, sem que durante todo o processo ocorra adição ou retirada de material do sistema. Mas, se for necessário fazer alguma correção do pH do meio, temos uma exceção a essa regra, já que será preciso adicionar soluções de ácido e base a fim de se manter a atividade biocatalítica dos microrganismos fermentadores.

Entretanto, essa característica particular da batelada, de ocorrer na ausência de entrada e saída de matéria, embora traga maior facilidade operacional, já que dispensa preocupação com alimentação parcial ou mesmo contínua do processo, faz com que seja mais difícil controlar a taxa de oxigênio dissolvida (OD) na fase liquida do sistema, limitando, assim, o crescimento microbiano e o rendimento do bioprocesso.

O crescimento microbiano é marcado por quatro fases distintas características e bem definidas.

Esse crescimento pode, por sua vez, ser representado por quatro fases clássicas, começando pela lag , quando as culturas em batelada estão ainda se adaptando ao meio no qual foram inoculadas, e uma vez adaptadas ao novo hábitat, passam a sintetizar todo o aparato enzimático que irá permitir que as células assimilem os substratos solúveis disponibilizados no ambiente extracelular. É assim que a população microbiana cresce e entra na fase exponencial, ou log. Como o próprio nome sugere, é nessa etapa que ocorre um aumento substancial no crescimento da cultura, de forma que nesse momento a taxa de crescimento específica (µ), característica para cada espécie, alcança seu valor máximo.

Seguindo à fase de equilíbrio e estabilidade (fase estacionária), onde o número de microrganismos que são gerados se iguala ao que sofre morte celular, os nutrientes começam a se tornar cada vez mais escassos, sem falar que os produtos do metabolismo tendem a se acumular no ambiente reacional, fatores esses que levam à diminuição da velocidade de crescimento, ou divisão, microbiana, característica esse que é uma marca registrada dos bioprocessos em batelada. Toda essa dinâmica de crescimento pode ser simulada e modelada por meio de equacionamentos matemáticos adequados, como os que disponibilizamos aqui.

1.1. BALANÇO DE MASSA

O equacionamento de balanços de massa, algo fundamental para processos biológicos, como a fermentação, baseia-se no princípio de que toda e qualquer forma de matéria nunca é criada ou mesmo destruída, mas sim apenas convertida. Através da realização do balanço de massa, é possível a criação e implementação, de modelos matemáticos que atendam às condições químicas e de cinética microbiana segundo as quais operações com culturas em batelada, batelada alimentada e contínua são conduzidas, possibilitando a obtenção de equações que permitem compreender, controlar e otimizar as reações bioquímicas através de equacionamentos simples e versáteis que consideram apenas variáveis operacionais realmente relevantes para a simulação frente a modelos mais complexos e multivariáveis, ou ainda de certo modo limitados.

$$ Acúmulo = Entra – Sai + Formado – Consumido $$

Para culturas microbianas em cultivo submerso, com os biorreatores operando em modo batelada simples e partindo-se da equação geral de balanço mássico é possível determinar o perfil matemático segundo o qual a concentração de biomassa, de substrato nutriente e produto do metabolismo primário e/ou secundário microbiano varia com o decorrer do tempo de cultivo.

Todos os algoritmos de simulação e modelagem FermenPy desenvolvidos têm embutidas equações diferencias ordinárias (EDOs) deduzidas a partir de equacionamentos de balanço de massa considerando a premissa de que as células em cultivo não são exercidos qualquer tipo de efeito causado por inibição que possa ter influência direta no crescimento do microrganismo (seja pelo produto, pelo substrato e pela concentração celular), além de que há presença de morte celular, bem como apenas consumo de substrato e formação de produto.

1.1.1. Células (biomassa)

$$ Acúmulo = Formado – Consumido $$ $$ {d (m.x)\over {dt}} = {rx.V} - {rdx.V} $$ $$ {d (Cx.V)\over {dt}} = {rx.V} - {rdx.V} $$

Uma vez que em reatores batelada o volume (V) pode ser considerado constante, já que não há presença de correntes de entrada e saída:

$$ {V.d (Cx)\over {dt}} = {rx.V} -{rdx.V} $$ $$ {d (Cx)\over {dt}} = {rx} - {rdx} $$ $$ {d (Cx)\over {dt}} = {μ.Cx - Kd.Cx} $$

$$ {d (Cx)\over {dt}} = {(μ-Kd).Cx} $$

A variação da concentração de células (Cx) com o tempo pode, assim, ser interpretada como uma função direta da taxa específica de crescimento (μ), em unidades de tempo-1, bem como da própria densidade celular que se encontra presente no meio reacional, sendo rx a velocidade com a qual ocorre o processo de crescimento microbiano (r = μ) e rdx o de morte celular, sendo Kd a constante que recebe o mesmo nome e é definida segundo a mesma grandeza da taxa μ.

1.1.2. Substrato (nutriente)

$$ Acúmulo = – Consumido $$ $$ {d (m.s)\over {dt}} = - {rs.V} $$ $$ {d (Cs.V)\over {dt}} = - {rs.V} $$

Uma vez que, à semelhança do ocorrido com o balanço de massa para as células, não há variação no volume total (V) do biorreator, o qual está sendo operado em batelada, de maneira que não há nenhum tipo de alimentação do sistema:

$$ {V.d (Cs)\over {dt}} = - {rs.V} $$ $$ {d (Cs)\over {dt}} = - {rs} $$

$$ {d (Cs)\over {dt}} = {-1\over{Yxs}}.μ.Cx $$

Diante do detalhamento para o equacionamento proposto, o meio nutriente (Cs) fornecido às biofábricas fermentadoras (substrato), é consumido pelas mesmas, através do fenômeno da transferência de massa, que se dá em meio líquido, segundo a taxa de consumo denotada por rs, a qual, uma vez relacionada à taxa de formação de biomassa, rx, de acordo com a razão rx.rs-¹, dá origem ao coeficiente Yxs. Este, por sua vez, é indica, em termos quantitivos, o quanto de substrato é destinado, no interior da célula microbiana, para permitir o adequado funcionamento do aparato bioquímico especializado responsável pelo seu crescimento, já que pode também ser representado pela variação entre as concentrações final e inicial de células e substância nutriente (Cxf-Cx0).(Csf-Cs0)-¹. Assim, após a realização de tratamentos matemáticos mais aprofundados, é possível definir a variação temporal da concentração de nutriente no meio fermentado em função do coeficiente de rendimento Yxs (fornecido em unidades de gx.gs-¹), da taxa específica de crescimento (μ), a qual pode ser descrita por qualquer modelo cinético não estruturado existente) e da concentração de biomassa acumulada (Cx) no interior do tanque.

1.1.3. Produto (metabólito)

$$ Acúmulo = Formado $$ $$ {d (m.p)\over {dt}} = {rp.V} $$ $$ {d (Cp.V)\over {dt}} = {rp.V} $$

Para cultivos conduzidos no interior de reatores aos quais não há adição ou retirada de correntes de materiais, característica essa de fermentações em batelada, o volume (V) reacional pode ser considerado constante durante todo o período em que o evento bioquímico estiver ocorrendo:

$$ {V.d (Cp)\over {dt}} = {rp.V} $$ $$ {d (Cp)\over {dt}} = {rp} $$

$$ {d (Cp)\over {dt}} = {α.μ.Cx}; (1) $$ $$ {d (Cp)\over {dt}} = {β.Cx}; (2) $$ $$ {d (Cp)\over {dt}} = {(α.μ+β).Cx} (3) $$

A formação de um determinado metabólito (definida para fins de equacionamento como Cp) pela célula microbiana é função direta da taxa de formação do produto, dada por rp, a qual está intrínseca e invariavelmente relacionada ao tipo de produto excretado para o meio extracelular. Dessa maneira, as moléculas produzidas com o intuito de auxiliar ou ainda permitir o crescimento do microrganismo (como é o caso dos metabólitos primários) são acumuladas no caldo fermentado, em função do tempo de cultivo (t), seguindo um perfil matemático (1) o qual descreve uma dependência entre a concentração do produto formada com a taxa específica de crecimento (μ), a concentração de biomassa (Cx) e uma constante adicional α, referenciada pela literatura científica como constante associada ao produto, equacionada pelo modelo de Luedeking & Piret e descrita em termos dimensionais dados pela relação massa de produto/massa de células gerada.

Por outro lado, quando as células microbianas produzem compostos que possuem como funcionalidade única e exclusiva prover proteção ou ainda coloração às mesmas, os metabólitos celulares passam a ser classificados como secundários e são acumulados no meio reacional segundo uma diferencial (2) a qual estabelece uma relação direta entre a concentração celular observada no caldo e a constante associada ao produto (modelo de Luedeking & Piret), sendo esta, nesse momento, denominada por β descrita pela relação massa de produto/massa de células acumuladas pelo tempo de cultivo.

A formação de produtos pode, ainda, adquirir um terceiro e último caráter matemático, para casos em que os metabólitos de interesse comercial obtidos ao final do processo fermentativo microbiano apresentar uma dependencia parcial em relação ao crecimento celular das biofábricas, a taxa (3).

2.1. AUSÊNCIA DE INIBIÇÃO

2.1.1. Contois (1959)

O modelo cinético de Contois (1959) evidencia a dependência da velocidade do crescimento celular com a taxa específica de crescimento (µ). Trata-se de uma equação matemática simples, uma vez que apresenta apenas duas variáveis, e que mostrou ser eficiente e confiável quando empregada para o ajuste de diferentes conjuntos de dados experimentais coletados durante a realização de ensaios ligados a processos que envolvem a degradação de matéria orgânica biodegradável.

$$ μ(t) = {μmáx{Cs\over{KSX+Cs}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

KSX = Constante de saturação (massa.volume-¹)

A principal característica desse modelo preditivo de primeira ordem (adequado para a descrição de reações hidrolíticas) está centrada no fato de que o mesmo induz à interpretação de que a velocidade de crescimento celular é quantitativamente dependente das concentrações do substrato fornecido às biofábricas, bem como à concentração celular segundo a qual as mesmas se encontram. Em adição, a consideração crucial de que todos os bioprocessos que ocorrem com a bioconversão de um dado substrato são limitados frente à área superficial disponível para acesso às moléculas nutrientes pelo microrganismo, e, portanto, pela transferência de massa, a taxa específica de crescimento descrita matematicamente por Contois pode ser analisada frente a uma nova perspectiva quantitativa.

Diante desse cenário, sempre que houver um aumento na concentração de células no meio reacional, este será acompanhado por uma redução crescente de acesso ao substrato pelas mesmas. Dessa maneira, à medida que o fermentador passa a armazenar uma concentração muito alta de biomassa, uma característica intrínseca a operações em batelada, o crescimento celular passa a ficar cada vez mais lento.

Estudos publicados pela literatura científica indicam que a adoção do modelo cinético não estruturado proposto por Contois é a melhor estratégia para a descrição de eventos bioquímicos nos quais a transferência de massa, representada pela chegada do substrato ao interior da célula microbiana, onde através de aparato enzimático especializado será adequada metabolizado, ocorre por difusão, como em reatores com cultivo submerso (substrato na fase líquida) e bactérias imobilizadas na forma de biofilmes (processos de tratamento anaeróbio de efluentes orgânicos).

2.1.2. Monod (1942)

A expressão empírica proposta por Monod (1942) permite a predição da taxa específica de crescimento (μ) através de sua relação com a concentração de substrato (equação baseada em apenas uma variável), de maneira que a uniformidade e o rendimento celular são mantidos constantes durante toda a situação de crescimento. Como um entrave à sua aplicação, está o fato de que esse modelo cinético fornece resultados quantitativos, baseados em regressões matemáticas, apenas para culturas que se encontram em condição de crescimento celular equilibrado (a estabilidade intracelular é alcançada), o que acontece durante as fases de crescimento exponencial e estacionária, tendo mostrado não ser adequada para a descrição da cinética de crescimento durante as fases transitórias, como a lag.

$$ μ(t) = {μmáx{Cs\over{Ks+Cs}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

Embora simples e com pouco ou nenhum significado físico e teórico (segundo alguns autores), a equação de Monod apresenta grande eficiência quando utilizada em uma vasta gama de situações tanto dinâmicas quanto estacionárias, o que faz com que seja de suma importância para o controle de bioprocessos, muito embora não seja abrangente para todos os casos de fermentação. Ademais, a exemplo de todos os outros modelos cinéticos que dele derivem, representa um modelo empírico para um único substrato. Porém, a cinética de Monod ainda é a que melhor descreve e delimita as quatro fases características do crescimento microbiano.

A equação cinética preditiva de Monod introduz, por si só, o conceito de nutriente limitante, de maneira que estabelece uma relação causal entre o fim do crescimento microbiano e a exaustão do suprimento do substrato. Estudos sugerem que, para uma fase lag de curta duração, elevadas concentrações de nutriente culminam, de acordo com a cinética de Monod, em uma maior taxa de crescimento celular. Contudo, modelos mais complexos e abrangentes em considerar possíveis efeitos inibitórios que se fazem presentes nas culturas analisadas, a exemplo daqueles decorrentes da competição frente à baixa quantidade de substrato disponível no meio reacional, permitiram maior sucesso quando do ajuste dos dados de cultivo.

Entretanto, o equacionamento clássico de Monod, ao relacionar a taxa específica de crescimento a um único substrato limite para a ocorrência da transformação bioquímica, não leva em consideração o fato de que as células microbianas podem necessitar de substrato mesmo quando se encontram durante o período em que não apresentam crescimento celular, uma vez que precisam de fonte de carbono para manter a sua estrutura física. Por essa razão, alguns modelos disponíveis na literatura introduzem ao modelo tradicional de Monod termos que remetem à manutenção.

Em adição, embora a cinética bioquímica de Monod apresente uma semelhança muito próxima à cinética enzimática predita por Michaelis – Mentem , não deve ser considerada cruamente como uma variação daquela. É correto afirmar que da mesma forma que a constante "Km", corresponda à concentração de substrato para a qual a velocidade da reação de catálise enzimática representa a metade da máxima para uma dada biotransformação, a constante de saturação, ou ainda de afinidade (entre o substrato e a célula catalisadora), "Ks", de Monod o faz em relação à taxa específica de crescimento para uma dada reação bioquímica.

Contudo, a equação preditiva para a cinética de ação dos biocatalisadores é restrita a uma única molécula de enzima, ao passo que os eventos bioquímicos, a exemplo da fermentação, uma vez realizados pelo aparato enzimático especializado dos microrganismos, se expandem para uma grande quantidade de enzimas envolvidas no processo.

2.1.3. Moser (1958)

O equacionamento empírico, proposto por Hermann Moser (1958) corresponde a uma modificação ao modelo de Monod, de maneira que ao integrar o termo “u” promove uma melhoria à mesma, provendo um grau de liberdade adicional à expressão cinética tradicionalmente conhecida.

$$ μ(t) = {μmáx{Cs^u\over{Ks+Cs^u}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

u = termo expoente (adimensional)

Para situações matemáticas nas quais o parâmetro "u" se iguala a 1, a taxa específica de crescimento descrita (μ) por Moser passa a ser idêntica àquela predita por Monod. Contudo, os valores mais comumente encontrados para o parâmetro são superiores a 1. Adicionalmente, a introdução deste parâmetro ao equacionamento é um indicativo da ocorrência de consumo de substrato pelo microrganismo seguindo uma expressão matemática de ordem superior através do fenômeno da transferência de massa. Sendo assim, uma vez um parâmetro ajustável, "u" garante um grau de flexibilidade maior ao ajuste de dados experimentais, concomitantemente à predição do comportamento dinâmico microbiano observado em reatores de tanque agitado operados de modo contínuo em termos de entrada de material nutriente.

A atribuição de valores elevados para o parâmetro cinético de Moser ("u") resulta em um aumento na velocidade de crescimento microbiano, com consequente aceleração no consumo do substrato disponível no meio reacional.

A implementação de algoritmos baseados na resolução, por integração numérica, do sistema de EDOs, seguindo a cinética preditiva não estruturada proposta por Moser para a taxa de crescimento (μ) permite a construção de gráficos que elucida a influência direta que o parâmetro "u" equacionado exerce em toda o metabolismo microbiano.

2.1.4. Cinética Constante

Muito embora existam diversos modelos cinéticos não preditivos para a velocidade de crescimento microbiano os quais, por sua vez, equacionam a taxa específica de crescimento μ como uma função de parâmetros variáveis, a exemplo das concentrações de substrato, de biomassa e de produto, bem como de outros termos constantes, é possível também relizar uma previsão acerca do comportamento dinâmico do processo fermentativo frente a valores constantes de μ.

$$ μ(t) = {μ} $$

Dessa maneira, para essa situação, a taxa μ irá apresentar constância em seu valor durante todo o período de tempo dentro do qual o evento bioquímico da fermentação microbiana estiver ocorrendo, independentemente de qualquer fator externo às biofábricas, como quantidade de nutriente, produto gerado como produto do seu metabolismo primário e/ou secundário ou ainda de células no caldo fermentado.

Quanto maior o valor atribuído a taxa específica de crescimento μ, mais rápido se dá a produção de biomassa, acompanhado pelo aumento do acúmulo de produto e redução da quantidade de susbtrato disponível às células, perfil característico de bioprocessos em batelada.

A integração analítica da diferencial destacada na seção 1.1.1, para um dado intervalo de tempo de cultivo iniciado em t = 0 e finalizado em t = t´ permite a quantificação direta de Cx para um valor de tempo definido, de modo que a integração analítica pode ser realizada através do método de separação de variáveis, considerando que o valor de μ será considerado constante para fins de simplificação dos cálculos.

$$ {1\over{Cx}} = μ.dt $$ $$ \int_{Cx0}^{Cx} {1\over{Cx}}\, dCx = \int_{0}^{t'} μ\, dt $$ $$ \int_{Cx0}^{Cx} {1\over{Cx}}\, dCx = μ.\int_{0}^{t'} \, dt $$ $$ ln⁡[(Cxf)-ln⁡(Cxo)= µ .(t´-0)] $$ $$ ln({Cx0\over{Cx}}) = μ.t' $$

$$ e^{(μ.t')} = {Cxf\over{Cx}} $$

A equação final integrada também pode ser obtida pela criação e execução de algoritmo de programação em Python, o qual integra implementa técnicas de integração numérica, não mais analítica e inidica que, para um mesmo intervalo de tempo e concentração inicial e final de células observada no cultivo em análise, quanto maior a taxa de crescimento, maior será o acúmulo de biomassa, o qual obedece à uma lei matemática exponencial.

Entretanto, é válido ressaltar que a velocidade de crescimento é direta e invariavelmente influenciada pela temperatura segundo a qual a biotransformação está sendo conduzida e pode, assim, apresentar diferentes valores, os quais interferem diretamente em toda a cinética do bioprocesso. Contudo, estudos práticos disponibilizados através da literatura científica evidenciam que mesmo apresentando variações frente ao tipo de microrganismo estudado, a taxa μ encontra-se dentro de uma faixa limitada de valores, normalmente inferior ao valor 1,5, sendo esta mensurada em unidade de tempo inverso.

2.2. INIBIÇÃO PELO SUBSTRATO

2.2.1. Andrews (1968)

O modelo cinético não linear proposto por Andrews (1968) representa uma derivação da equação empírica clássica de Monod, descrevendo, por sua vez, eventos bioquímicos nos quais são observados efeitos inibitórios pelo substrato, através de uma relação matemática entre a constante de meia velocidade (denominada na literatura por Ksi), taxa de crescimento específica máxima (μmáx) e da constante de inibição pelo substrato denotada por KI. Este último termo é o responsável por quantificar a influência de um determinado composto tóxico presente em uma dada transformação microbiana. Estudos de bioprocessos de degradação de compostos químicos conduzidos em batelada possibilitaram a obtenção de resultados que evidenciam o potencial do equacionamento de Andrews em predizer o efeito que a inibição proporcionada pela presença de um substrato único causa no crescimento celular frente àquela realizada por Monod em casos nos quais a concentração inicial de substratos potencialmente tóxicos às biofábricas tende a aumentar (normalmente para valores de concentração celular inicial que ultrapassam o valor de 30mg/L).

$$ μ(t) = {μmáx{Cs\over{Ks+{Cs\over{KIS}}}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

KIS = Constante de inibição pelo substrato (massa.volume-¹)

No que tange ao coeficiente de inibição "KIS”, este ilustra, através de termos quantitativos, o impacto da toxicidade de um dado componente em estudo em um processo de biodegradação realizada por intermédio de células microbianas, de maneira que para culturas altamente sensíveis ao efeito tóxico do substrato em análise, o termo cinético "KIS" tende a apresentar-se segundo valores mais baixos. Entretanto, valores elevados para essa constante evidenciam maior tolerância dos cultivos ao efeito inibitório apresentado pelo composto químico fornecido como substrato, de modo que a equação de Andrews tende assim, portanto, a se reduzir à equação de Monod, a qual não prevê qualquer tipo de inibição.

É importante salientar que trabalhos que tiveram como foco o estudo cinético da biodegradação de etilbenzeno realizada através da aplicação de culturas isoladas e mistas relatam que estas últimas apresentam maiores valores para “Ki”, sendo, portanto, mais resistentes ao processo de inibição pela presença de altas concentrações de substratos tóxicos no meio reacional. Em adição, em condições de baixas concentrações de substrato, as diferenças existentes entre os equacionamentos propostos por Andrews e Monod são praticamente nulas, de maneira que o parâmetro cinético adicional Ki passa a não apresentar nenhuma função quando do ajuste de dados experimentais na modelagem desses processos.

Há relatos na literatura de que o modelo cinético de Andrews, por vezes também denotado por modelo de Haldane , prediz um estado estacionário1, além de que pode ser equacionado em termos da velocidade de consumo do substrato, e não do crescimento microbiano.

Além disso, o equacionamento de Andrews, proposto para um único substrato, pode ser associado a ferramentas que lançam mão do método de Runge- Kutta (4ª ordem) para integração numérica de equações diferenciais e, assim, empregada para modelagem matemática, a equação cinética de Andrews permite a predição da limitação ocasionada pela concentração de um determinado substrato através da constante "KIS", a qual quando muito elevada implica na não influência inibitiva em decorrência da presença do substrato empregado para o bioprocesso em estudo. Com isso, uma vez sendo KIS >> Cs, a equação passará a ser igual àquela descrita por Monod.

Tal equacionamento, proposto para permitir a predição do comportamento (dinâmico) do crescimento microbiano na presença de um substrato com potencial inibitório em função da inibição das enzimas celulares em função da concentração do agente inibidor. Segundo os escritos do próprio autor do modelo cinético preditivo, a constante cinética “KIS” é equivale numericamente à concentração máxima de substrato para a qual a taxa de crescimento específica é exatamente igual à metade da taxa de crescimento específica máxima em condições reacionais as quais não exponha a cultura a nenhum composto potencialmente tóxico à mesma. Contudo, elucida que tal equacionamento não apresenta nenhuma base teórica, mas se baseia na equação empírica de Monod, a qual apresenta similaridade com a cinética enzimática de Michaelis-Mentem , além de que estudos, já àquela época, evidenciaram que a taxa de oxidação de nitrito poderia se relacionar diretamente à concentração de nitrito por esse tipo de inibição.

2.2.2. Wu et al (1988)

Originalmente, o modelo cinético de Wu et al (1988), preditivo para a investigação do efeito inibitório do substrato na cinética de crescimento microbiano com uma formulação matemática aplicada para descrever a taxa de utilização (U e Umáx), em termos de demanda química de oxigênio (DQO), da constante de inibição "Ke" e do coeficiente de resposta à inibição "v".

$$ μ(t) = {μmáx{Cs\over{Ks+Cs+Cs({Cs\over{Ke}})^v}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

Ke= Constante de inibição pelo substrato (massa.volume-¹)

v= Parâmetro expoente de Wu et al (adimensional)

Sendo assim, uma vez aplicada para a descrição de fenômenos bioquímicos nos quais nenhum tipo de inibição é observado, o equacionamento anterior passa a ser representado por aquele proposto pela cinética de Monod, ao passo que para um valor de n igual a 1, a taxa de crescimento microbiano passa então a ser afetada pelo efeito tóxico do substrato em estudo seguindo a relação cinética de Andrews.

2.3. INIBIÇÃO PELO PRODUTO

2.3.1. Aiba et al (1968)

O modelo proposto por Aiba et al (1968) descreve a cinética de inibição pelo produto. De acordo com estudos já publicados, para casos em que o produto gerado em um determinado processo de fermentação não exerce nenhum efeito inibitório sobre a cultura microbiana, a cinética de crescimento pode ser descrita através de uma relação simples entre a taxa específica de crescimento (μ) e a concentração de substrato limitante ao bioprocesso (relação proposta por Monod). Por outro lado, quando o acúmulo desses metabólitos passa a influenciar diretamente no crescimento celular, a concentração de produto deve ser considerada para efeitos de equacionamento, uma vez que os parâmetros “μmáx” e “Ks” serão afetados pela inibição causada, sendo “μmáx” assim denominado por “μi” (taxa específica de crescimento máxima observada na presença do agente inibidor).

$$ μ(t) = {μmáx{Cs\over{Ks+Cs}}e^{(-Kp Cp)}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹);

Kp = Termo expoente de inibição pelo produto (volume.massa-¹);

Cp = Concentração de produto (massa.volume-¹)

O equacionamento cinético não linear foi desenvolvido pelos autores a fim de predizer a intensidade do efeito inibitório decorrente da concentração de etanol produzida e acumulada em uma fermentação operada em batelada quando a glicose se torna o componente limitante da biotransformação e apesar de que o coeficiente empírico “Kp” seja diretamente dependente do processo bioquímico ser conduzido em batelada ou por culturas contínuas, o parâmetro cinético “Ks” mostra-se invariável frente ao modo de operação adotado para a fermentação estudada.

Nesse sentido, o equacionamento de Aiba e colaboradores foi desenvolvido com o intuito de estabelecer uma relação exponencial entre a velocidade de crescimento microbiano e a concentração de etanol durante fermentações do tipo alcoólica realizadas por leveduras (Saccharomyces cerevisiae), de modo que a constante “Kp” (expoente empírico em termos de L/g) está intrinsecamente relacionada ao modo de operação do processo fermentativo (descontínuo ou contínuo).

Estudos acerca do crescimento microbiano assemelham a inibição ocasionada por metabólitos celulares à cinética enzimática com inibição do tipo não competitiva e embora o modelo de Aiba et al tenha sido proposto inicialmente para aplicação em bioprocessos envolvendo a produção de bioetanol por (Saccharomyces cerevisiae), é adequado para a descrição cinética de outros processos de fermentação que são afetados pelos efeitos inibitórios do acúmulo de produto. Entretanto, sua principal limitação está centrada no fato de que a completa inibição do crescimento microbiano seria alcançada apenas quando a concentração de produto tender ao infinito (concentrações muito elevadas), algo que seria irreal e, portanto, não observado experimentalmente.

2.3.2. Hope & Hansford (1982)

O modelo cinético preditivo não estruturado de Hope & Hanford (1982) é aplicado para a predição do efeito inibitório ocasionado em decorrência da presença de um determinado produto no meio reacional no qual um determinado evento bioquímico está ocorrendo, desconsiderando a influência que outros fatores externos, bem como a atividade celular, exerce no processo de fermentação. De acordo com o equacionamento proposto, à medida que concentração do produto no meio fermentado aumento, a taxa específica de crescimento decai. Entretanto, a equação não faz nenhuma predição acerca da concentração de biomassa.

$$ μ(t) = {μmáx{{Cs\over{Ks+Cs}}{{Kp\over{Kp+Cp}}}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹);

Kp = Termo expoente de inibição pelo produto (volume.massa-¹);

Cp = Concentração de produto (massa.volume-¹)

O equacionamento se assemelha àquele aplicado para a descrição de cinéticas enzimáticas do tipo não competitivas, podendo, por sua vez, ser adequadamente aplicado para a predição da inibição da fermentação alcoólica por culturas de leveduras Saccharomyces cerevisiae. Para tanto, ao modelo tradicionalmente conhecido de Monod, foi introduzido um termo para descrever matematicamente a relação entre a taxa específica de crescimento (μ) do microrganismo e a inibição ocasionada pelo seu produto liberado para o meio fermentado.

Inicialmente, o modelo foi equacionado pioneiramente pelos autores com o intuito de investigar o potencial de inibição do etanol na cinética da fermentação etanólica por cepas de Saccharomyces cerevisiae, haja visto que muitos estudos preliminares e relatados na literatura por outros pesquisadores já evidenciavam a existência desse caso de inibição pelo produto, além de que trabalhos já haviam evidenciado também que o álcool sintetizado através desses eventos bioquímicos é mais inibitório frente aquele adicionado, denominado por exógeno, ao meio reacional para fins de estudos cinéticos. É importante salientar que o equacionamento foi aplicado por ambos para o ajuste de dados experimentais coletados durante a condução de um cultivo operado em modo contínuo com grande acúmulo de etanol e alimentação de glicose sob diferentes concentrações, porém sempre constante.

Contudo, tal equação é capaz de fornecer uma ótima base cinética no que tange a bioprocessos que ocorrem em batelada e batelada alimentada, permitindo ainda uma avaliação econômica daqueles realizados por culturas contínuas que venham a ser desenvolvidos.

2.3.3. Levenspiel (1980)

O modelo de Levenspiel (1980) caracteriza preditiva e matematicamente o efeito da concentração de produto sobre a taxa específica de crescimento (μ), a partir de um equacionamento de relativa simplicidade que não exige trabalho computacional intensivo, e que, sobretudo, é aplicável e eficiente para a descrição de uma vasta gama de processos, com destaque àqueles que envolvem a produção de bioetanol. Ao expressar a taxa de crescimento celular em função das concentrações de substrato e de produto, a presença do termo “Pmáx” na equação proposta pelo autor indica a concentração máxima de produto na qual é cessado o crescimento das células catalisadoras em uma determinada biotransformação, ao passo que o parâmetro “n” está diretamente relacionado à inibição ocasionada pelo produto do seu metabolismo gerado durante o bioprocesso.

$$ μ(t) = {μmáx{{Cs\over{Ks+Cs}}{{(1- {Cp\over{Cp*}})}^n}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

Cs*= Concentração de produto limite (massa.volume-¹)

n = Parâmetro expoente de Levenspiel (massa.volume-¹)

Portanto, quando utilizado para casos de fermentação etanólica, a constante “n” encontra-se diretamente relacionada ao efeito inibitório causado à cultura pelo acúmulo das moléculas de bioetanol (parâmetro empírico esse diretamente relacionado também à concentração de substrato presente no mosto), de maneira que elevados valores para este parâmetro indicam que o microrganismo fermentador é mais sensível à concentração de etanol vinho fermentado. Em adição, estudos previamente realizados por outros autores e que avaliaram a inibição causada pelo acúmulo de etanol no meio fermentado quando da fermentação alcoólica por Saccharomyces cerevisiae, relatam a eficiência do modelo de Levenspiel em ajustar de maneira altamente eficiente os dados experimentais oriundos desses bioprocessos.

A característica mais importante apresentada pelo modelo cinético de Levenspiel está centrada no seu potencial de predizer a concentração máxima de etanol que as células de levedura são capazes de tolerar antes que as mesmas interrompam o processo de crescimento celular, haja visto que esse valor, aproximado, para uma grande parte dos cultivos deve ser extrapolado numericamente, uma vez que se encontra fora da faixa dos valores experimentalmente obtidos no que tange à concentração de produto mensurada durante a ocorrência do processo fermentativo para a bioprodução de etanol.

Aprofundando as análises acerca do parâmetro cinético “n”, componente intrínseco à equação cinética proposta por Levenspiel, uma vez sendo uma representação da inibição pelo produto ocasionada pelo acúmulo do mesmo no vinho, é relatado na literatura científica a existência de uma relação direta entre o mesmo e a concentração de etanol obtida ao término do processo de fermentação.

Dessa maneira, torna-se evidente o fato de que o potencial inibitório do etanol é mais pronunciado em caldos fermentados que apresentam os maiores valores para a concentração deste metabólito primário, sendo a afirmação inversa também válida, efeito de inibição este carregado para a análise cinética em termos de velocidade de crescimento celular (μ) através do modelo de Levenspiel. Com isso, o equacionamento permite a predição matemática do parâmetro “n”, o qual independe da temperatura segundo a qual o evento bioquímico está sendo conduzido, a partir da concentração de produto obtida decorrente da quantidade de substrato, também em termos da relação massa/volume, fornecido para as células através do mosto.

Sendo assim, o valor deste termo aproximado para processos fermentativos que apresentam baixo acúmulo de produto (inferior ou igual a 80g/L) não devem ser utilizados para a simulação daqueles nos quais ocorre uma elevada produção de etanol, já que o efeito da inibição torna-se mais evidente e relevante apenas para estes últimos. Além disso, quando operados em temperaturas mais amenas, a fim de diminuir os efeitos tóxicos causados pelo acúmulo do bioetanol (em decorrência da diminuição da fluidez e consequente permeabilidade da membrana celular à molécula de álcool), a concentração de substrato fornecida deve ser mais elevada.

2.4. INIBIÇÃO PELA BIOMASSA

2.4.1. Lee et al (1983)

Em eventos bioquímicos conduzidos segundo o modo de operação em contínuo, lançar mão de algumas estratégias operacionais faz com que a concentração celular atinja valores elevados o interior do fermentador, a exemplo do que ocorre quando se utiliza o reciclo de células. Diante desse cenário, estudos preliminarmente realizados comprovam que, para esses casos, o acúmulo de microrganismos chega a ser cerca de 10 a 20 vezes superior quando confrontado àquele observado, em termos de concentração de células, em tanques convencionais em batelada, bem como em contínuos com ausência de reciclo.

$$ μ(t) = {μmáx{{Cs\over{Ks+Cs}}{{(1- {Cx\over{Cx*}})}^m}}} $$

t = Tempo decorrido de cultivo (tempo);

μ = Taxa específica de crescimento (tempo-¹);

μmáx = Taxa específica de crescimento máxima (tempo-¹);

Cs = Concentração de substrato (massa.volume-¹);

Ks = Constante de saturação (massa.volume-¹)

Cx*= Concentração celular limite (massa.volume-¹)

m = Parâmetro expoente de Lee et al (massa.volume-¹)

Segundo Lee et al (1983), grande parte dos modelos cinéticos disponíveis para consulta na literatura científica estabelece uma relação linear entre o crescimento microbiano (em função da taxa μ) e da concentração observada, de maneira que caso a primeira apresente-se duplicada, o mesmo será observada para a segunda. Um levantamento de dados feito por Lee e colaboradores indica que tal relação é correta e eficientemente aplicada para descrever fermentações que ocorrem em batelada, apresentando concentração de biomassa em um intervalo entre 5-10 g/L. Todavia, dados experimentais obtidos por outros pesquisadores colocaram tal relação linear em xeque, haja visto que a produtividade máxima observada pelos mesmos foi alcançada para valores localizados entre 60 e 100 g/L de levedura.

Por esta razão, para o tratamento cinético da fermentação ensaiada, Lee et al (1983) empregou uma equação para descrever o crescimento microbiano, considerando os efeitos inibitórios do acúmulo da biomassa, inserindo um termo análogo ao utilizado para a inibição pelo produto utilizada por Levenspiel.

No equacionamento cinético proposto por Lee, o termo “Cx*” indica a concentração celular máxima a qual seria alcançada pelo microrganismo em estudo em condições ideais de crescimento (fornecimento adequado e suficiente de nutrientes, além da ausência de efeitos inibitórios, a exemplo daquele ocasionado pelo acúmulo de etanol acima de determinados teores). O termo de potência, “m”, por sua vez, descreve quantitativamente o quão forte está sendo a inibição para o crescimento celular em termos da taxa específica μ, para casos em que a concentração da biomassa, “Cx”, encontra-se inferior à “Cx*”, de modo que para valores de “Cx” superiores a “Cx*”, o modelo cinético de Lee et al, para a predição da inibição pela biomassa, não encontra-se definido.

3.2.1.1. Curva de Calibração

O pacote Numpy, desenvolvido integralmente em linguagem Python e que carrega como sigla em inglês o termo “Numerical Python” disponibiliza, aos usuários e programadores desse linguagem emergente e em pleno estágio de ascensão, através da função polyfit, uma poderosa ferramenta para ajuste de dados numéricos, o que é possível uma vez que a mesma permita que as etapas de otimização sejam conduzidas tendo como base equações matemáticas de grau variável.

Para tanto, essa função implementa o método de convergência conhecido como Método dos Mínimos Quadrados, de maneira que o ajuste de dois conjuntos de dados quantitativos distintos e reconhecidos pelo algoritmo internamente embutido à mesma reconhece por (x, y) resulta em uma saída computacional pelo polyfit de um vetor, denominado por p, contendo o valor de cada um dos coeficientes correspondentes à expressão polinomial que melhor representa o evento em processo de ajuste (polinômio de encaixe) para efeitos de resolução de um dado problema de minimização do erro ao quadrado entre aquilo que é experimentado e o que é ensaiado, seguindo o perfil característico das expressões matemáticas.

$$ p(x) = p[0] * x^{grau} + ... + p[grau] $$

Entretanto, a função polyfit não está isenta de limitações, haja visto que para situações nas quais o grau inserido para a realização do ajuste é demasiado elevado ou ainda em que o intervalo de pontos amostrais não está adequadamente centralizado (apresenta-se muito disperso), os resultados numéricos encontrados para os coeficientes encontrado pelo método em questão acabam por ser mal condicionados, não sendo satisfatórios e fidedignos à realidade.

Para a construção da curva de calibração, o grau inserido para o polinômio a ser retornado pelo algoritmo deve ser "1", permitindo o ajuste dos dados de densidade óptica (D.O.) à uma equação de primeiro grau. A sintaxe empregada para esse fim, é dada, portanto, pela linha de começando " numpy.polyfit(xexp,yexp,1)"

Diante desse cenário, o algoritmo emite um aviso (RankWarning) a fim de sinalizar que estão ocorrendo problemas de minimização frente ao conjunto de dados fornecidos para a situação de ajuste e/ou o grau do polinômio requerido pelo usuário, e, portanto, que o ajuste mais adequado aos mesmos não está definido, uma vez que existem problemas numéricos para a correta e satisfatória aplicação do método dos mínimos quadrados.

Todavia, existem soluções possíveis a fim de contornar a problemática levantada anteriormente e são a certo ponto simples, consistindo em diminuir o grau polinomial empregado para a minimização. Com isso, os resultados da otimização podem ser aprimorados.

3.2.2. NÃO LINEAR

O módulo Leastsq, uma das ferramentas disponíveis também pelo pacote Python Scipy, é composto por dois algoritmos pertencentes à MINPACK, uma biblioteca para subrotinas implementadas em linguagem Fortran, denotados por lmdif e lmder e se baseia na otimização de equação não lineares aplicando o método da minimização quadrática. Esta última é aplicada frente ao cálculo da diferença entre os dados experimentais (oriundos de eventos reais experimentados ou ainda do retorno de algoritmos de simulação) e aqueles calculados com base em uma dada equação, com grau de liberdade superior a 1, que possui os parâmetros a serem otimizados, ambos compondo o que se convencionou nomear como função objetiva, na qual estes passam a ser tratados como argumentos, armazenados em tuplas e que são recalculados a cada iteração realizada pelo algoritmo, visando à obtenção da melhor solução possível.

Dessa maneira, ao final do processo de convergência implementado pela linha de comando scipy.optimize.leastsq(), os valores encontrados para os parâmetros assim modelados são retornados na forma de vetores unidimensionais. Entretanto, é válido salientar que os valores iniciais, únicos e pontuais, que devem ser fornecidos para os mesmos, representando, com isso, o lance inicial, necessário para que o processo de convergência seja iniciado, permitem que o módulo passe então a ter uma base numérica (na forma de entradas únicas e pontuais) a partir da qual irá iniciar busca pela melhor solução para um dado problema de minimização da função objetiva, caracterizando o método de convergência local. A utilização do módulo leastsq permite a implementação do Algoritmo de Levenberg – Marquardt (ALM) em linguagem Python.

O método de Evolução Diferencial pode ser implementado em linguagem Python através do módulo diferencial_evolution, disponibilizado pela biblioteca Scipy, permitindo, dessa maneira, que a solução mínima global, representada pelos valores dos parâmetros componentes de equações multivariadas, seja localizada ao término do processo de modelagem computacional dentro de um amplo espaço de busca dentro de um determinado intervalo numérico candidato a possuir as possíveis soluções para um dado problema de minimização.

Esse método, do tipo estocástico baseado em populações, o qual dita os princípios básicos de funcionamento dos Algoritmos Genéticos (AGs), tem-se mostrado de extrema utilidade para a utilização em problemas matemáticos que requerem o emprego de ferramentas de otimização global para que possam ser solucionados com alto grau de eficiência. Para tanto, o algoritmo promove alterações, a cada rodada, nas populações tidas como potenciais candidatas à resolver o sistema de equações modelada frente um conjunto de dados de entrada tomados pelo mesmo como experimentais e base de comparação aos posteriormente calculados como modelo, o que culmina com a formação de novas populações candidatas que passam então a ser denotadas por candidatas a teste.

Esse mecanismo central é implementado pela adoção de diferentes técnicas disponíveis pelo módulo Differential Evolution, as quais, sem exceção, empregam trabalho computacional para gerar mudanças nas populações candidatas até que a busca seja filtrada à melhor encontrada dentro dos parâmetros fornecidos pelo usuário, como popsize, mutation e recombination ou até que um critério específico de parada seja atendido. Contudo, a fim de que todo o mecanismo de convergência global seja iniciado, o espaço de busca, uma vez vasto, deve ser limitado manualmente frente ao fornecimento dos valores mínimos e máximos que formam um intervalo numérico mais provável a acomodar os valores para os parâmetros a serem otimizados.

Contudo, a grande limitação da adoção dos AGs se deve ao fato de que, para muitos problemas de minimização, o tempo de resposta torna-se um grande inconveniente, com os resultados demorando a serem retornados pelos algoritmos, além de que caso os mesmos não sejam corretamente construídos, no que tange aos seus parâmetros intrínsecos e que devem ser fornecidos pelo comando “scipy.optimize.differential_evolution()”, os resultados da modelagem passam a não ser confiáveis, os quais tornam-se mais fidedignos à medida que valores altos para o popsize e mutation, com baixo recombination melhoram as chances em encontrar um um mínimo global.

Porém, a convergência acaba por ser afetada, o que implica na necessidade em se adotar métodos de convergência local em consonância ao AG. Em adição, o emprego do comando updating=imadiatte”“ implica em uma redução no tempo de convergência pelo AG, em decorrência de atualizações consecutivas dos cromossomos contendo as melhores soluções dentro de uma única iteração do algoritmo.

3.2.2.1. Algoritmo Genético (AG)

O Algoritmo Genético, representado também através da sigla AG, é considerado uma técnica helenística, fornecendo a melhor solução possível para um dado problema de minimização, em um período de tempo relativamente hábil. Contudo, existem casos nos quais os resultados otimizados retornados pelo mesmo não são os mais adequados à problemática modelada.

Seu mecanismo de funcionamento característico apresenta derivações acerca da famosa Evolução das Espécies, de maneira que é possível entende-lo por intermédio de uma analogia simples realizada em relação a termos comumente empregados na área da genética. Diante desse cenário multidisciplinar, que atrela biologia, engenharia e computação, cada conjunto de soluções candidatas é representativo de um cromossomo, de modo que seus genes são constituídos por números, ou seja, um cromossomo é uma cadeia de binários (0 e 1). Assim, essas cadeias de números, as quais estão susceptíveis ao processo de permutação pelo algoritmo, quando em conjunto, dão origem às populações, sendo estas últimas geradas e manipuladas a cada iteração sofrida pelo AG, originando as diferentes gerações de cromossomos, todos avaliados estatisticamente por intermédio da função de avaliação fitness, responsável em mensurar o qual adaptada está a solução carregada em seus genes à minimização da função objetiva.

Vídeo na íntegra retirado do link https://www.youtube.com/watch?v=Bhme3i8jHpU

Tudo isso acontece em 5 fases distintas:

1) Geração da população inicial;

2) Cálculo do fitness para cada um dos cromossomos que a compõem;

3) Seleção, crossover (recombinação) e mutação;

4) Troca de populações, originado as novas gerações;

5) O processo é repetido a partir da fase 2, até que o critério de parada (seja projetado para permitir a obtenção de uma solução satisfatória ou ainda apenas relacionada ao tempo de execução do AG) seja atendido ou algum problema seja detectado pelo algoritmo.

Resultado: o melhor indivíduo é componente intrínseco da última geração da população.

A etapa de seleção detecta, através do valor calculado para o parâmetro fitness os cromossomos mais adaptados, sendo que o mesmo pode ser selecionado mais de uma vez; a de crossover se encarrega de mesclar genes (valores numéricos) de dois cromossomos distintos, representando um evento probabilístico; por fim, a etapa de mutação, também assim classificada, soluciona possíveis entraves relacionados à detecção de valores mínimos locais, sendo os cromossomos mutados lançados à geração seguinte. Ambas as últimas etapas são dependentes dos chamados operadores genéticos, definidos através da codificação do AG.

A determinação do tamanho da população pelo differential evolution, do inglês popsize, irá influenciar diretamente a população inicial e consequente nas gerações futuras e, dessa maneira, em toda a performance do algoritmo, não podendo, portanto, ser muito grande ou muito pequena.

3.2.2.2. Algoritmo de Levenberg - Marquardt (ALM)

O Algoritmo de Levenberg – Marquardt, por vezes abreviado, seguindo a língua portuguesa, como ALM, é comumente implementado para a resolução de muitos problemas matemáticos complexos que envolvem a minimização não linear pelo método dos mínimos quadrados, sendo a ferramenta computacional empregada para fins de otimização de processos em softwares especializados para a realização das etapas de convergência intrínsecas a esses eventos.

Vídeo retirado do link https://www.reddit.com/r/dataisbeautiful/comments/bfsw4a/nonlinear_curve_fitting_using_the/, ilustrando um exemplo de implementação computacional do Algoritmo de Levenberg - Marquardt, o qual realiza o processo de convergência local para uma equação não linear através de suas múltiplas iterações.

Contudo, muito embora represente uma das alternativas mais adotadas para esse fim e forneça respostas que exigem um tempo de trabalho computacional muito reduzido (a resposta é retornada em questão de segundos), o algoritmo é demarcado por algumas problemáticas que colocam a sua utilização em xeque, uma vez que o mesmo não apresenta eficiência e resposta adequadas para todas as situações que necessitem do processo de modelagem computacional para equações do tipo não lineares.

Esse cenário limitante ao qual o ALM é inserido é criado devido ao seu mecanismo de funcionamento característico, o qual para ser iniciado, necessita do fornecimento manual os valores iniciais para os parâmetros componentes da(s) expressão(ões) matemática(s) a ser(em) otimizadas através da minimização da função objetiva, os quais, uma vez fornecidos pelo usuário ou programador, que podem apresentar pouco ou nenhum conhecimento acerca da teoria científica descrita matematicamente pelas equações, são passíveis de ser muito distantes do esperado no cenário real.

Diante disso, o algoritmo passa a estar susceptível ao retorno de valores errôneos para o evento modelado, ao final do processo de convergência local, realizado pela aplicação de uma função única, baseada no número de pontos a ser modelado, o valor dos dados experimentais e também computados, bem como um fator de ponderação, além da própria expressão matemática que representa o modelo de minimização em estudo, o qual passa a ser tomado como equação modelo para a realização do processo de convergência.

$$ \sum_{i=1}^{i=n} wi*{(Yi-yi)}^2; $$ $$ yi = f(Xi) = f(Xi,a1...ap) $$

Assim, todas essas questões levantadas e discutidas sugerem que ideia de que o acoplamento do ALM com outras ferramentas computacionais científicas, a exemplo de algoritmos de otimização por minimização de equações não lineares e que realizam uma busca global de possíveis soluções para a problemática a ser modelada pode não apenas contornar todas as limitações do Algoritmo de Levenberg – Marquardt, como enaltecer sua vantagem, centrada em seu método de convergência local, como potencializar aqueles que buscam as melhores soluções, no âmbito estatístico, dentro de um vasto intervalo numérico. Tem-se como exemplo deste último o Algoritmo Genético (AG).

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SIMULAÇÃO E MODELAGEM DE PROCESSOS FERMENTATIVOS MICROBIANOS

QUEM SOMOS

NOSSA PESQUISA

DOCUMENTAÇÃO

1. FERMENTAÇÃO MICROBIANA EM BATELADA

2. FERMENTAÇÃO MICROBIANA EM BATELADA ALIMENTADA

3. FERMENTAÇÃO MICROBIANA EM MODO CONTÍNUO (QUIMIOSTATO)

1.1. BALANÇO DE MASSA

1.1.1. Células (biomassa)

1.1.2. Substrato (nutriente)

1.1.3. Produto (metabólito)

2. MODELOS CINÉTICOS NÃO ESTRUTURADOS

2.1. AUSÊNCIA DE INIBIÇÃO

2.1.1. Contois (1959)

2.1.2. Monod (1942)

2.1.3. Moser (1958)

2.1.4. Cinética Constante

2.2. INIBIÇÃO PELO SUBSTRATO

2.2.1. Andrews (1968)

2.2.2. Wu et al (1988)

2.3. INIBIÇÃO PELO PRODUTO

2.3.1. Aiba et al (1968)

2.3.2. Hope & Hansford (1982)

2.3.3. Levenspiel (1980)

2.4. INIBIÇÃO PELA BIOMASSA

2.4.1. Lee et al (1983)

3. ALGORITMOS IMPLEMENTADOS

3.1. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

3.2. REGRESSÃO GRÁFICA

3.2.1. LINEAR

3.2.1.1. Curva de Calibração

3.2.2. NÃO LINEAR

3.2.2.1. Algoritmo Genético (AG)

3.2.2.2. Algoritmo de Levenberg - Marquardt (ALM)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CONTATOS